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基本与技术分析

期权定价问题的有限元Richardson外推法

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理查德森外推法 -->

數值分析中,理查德森外推法(Richardson extrapolation)用以改善級數序列收斂效率,它是在20世紀前期由英國數學家,物理學家,氣象學家Lewis Fry Richardson提出的。在數值分析領域,Richardson外推法有很多實際應用,如Romberg's method,是在梯形公式的基礎上應用Richardson外推法導出的;還有用於求解常微分方程的Bulirsch–Stoer算法。

  • Extrapolation Methods. Theory and Practice by C. Brezinski and M. Redivo Zaglia, North-Holland, 期权定价问题的有限元Richardson外推法 1991.
    , fullerton.edu (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館), mit.edu (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館) (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)

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Richardson外推加速技术(含Romberg详细分析)的Matlab实现

[违规账号,无法查看] 于 2017-11-03 18:55:06 发布 8095 收藏 23

一、 Romberg 求积公式的演化

根据前面一篇博客《 基于复化梯度求积的求积步长自适应matlab实现 》,我们知道可以通过对积分区间不断进行二分,然后采用复化梯形公式计算得到新的求积结果。但是其存在的主要问题是,收敛速度太慢,前述的例子需要进行10次二分才能达到 10^-7 的精度,达到该精度的区间数为 1024 ,共需节点 1025 个。示例为一简单函数,因此计算量相对还算不大,但是如果计算函数复杂,要求精度更高,那么基于复化梯度求积的求积步长自适应的方法也难以满足需求。为此,数学家提出了 Romberg 求积公式。

设 T n 和 T 2 n 分别为二分前后利用复化梯形求积公式求得的积分近似值,根据式(1.1)可以计算得到式(1.2):

当 T n 与 T 2 n 非常接近时,则可以保证 T 2 n 的误差非常小。这种直接利用计算结果来估计误差的方法称为误差的事后估计法。其思想为误差补偿思想。记

即用复化梯形法求出的二分前后两个积分近似值 T n 与 T 2 n 按照式(1.3)作线性组合,所得到的结果就是复化 simpson 公式求得的积分近似值 Sn 。

类似地,对 Sn 与 S 2 n 作线性组合可以得到 Cn:

对 Cn 和 C 2 n 作线性组合得到 Romberg 公式:

二、 Richardson 外推技术的成型

由于Richardson推理过程比较复杂,此处只给出相关链接 (https://en.wikipedia.org/wiki/Richardson_extrapolation) ,如果有兴趣,请读者自行查阅相关资料。下面给出通项公式:

三、 Romberg 算法描述

并将 1→k(k) 为二分次数。(注:这句话的意思是其实就是指计算 T 数表的第一列,即前面的自适应步长复化梯度求积)

3) 外推计算,求加速值。按照式(1.7)依次求出 T 数表中第 k 行的其余元素

4)精度控制,对给定误差,若对角线上相邻元素满足下式(1.9),则停止计算,取作为满足精度要求的近似值;否则 k+1→k ,转2)继续计算,直到满足要求。

理查森外推[法]

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Richardson外推法计算给定点处的一阶和二阶导数

崔小菜 于 2013-08-13 11:03:17 发布 3224 收藏 2

//计算给定点处的一阶和二阶导数
#include
#include

using namespace std;

class deriv
<
private:
int k;
double d1, d1_1, d1_2, d2, d2_1, d2_2, d1_new, d2_new;
double f_x, f_xhm, f_x2hm, f_xhp, f_x2hp, h, 期权定价问题的有限元Richardson外推法 x;

public:
double func(double y)
<
double f = 1 / sqrt(y) - 1.77 * log(1e4 * sqrt(y)) + 0.5;
return f;
>
void diffn();
>;

void main()
<
deriv differentiate;
differentiate.diffn();
>

void deriv::diffn()
<
cout cin >> x;
cout cin >> h;
for (k = 0; k <
f_x = func(x);
f_xhp = func(x + h);
f_x2hp = func(x + 2 * h);
f_xhm = func(x - h);
f_x2hm = func(x - 2 * h);
d1 = (-f_x2hp + 8 * f_xhp - 8 * f_xhm + f_x2hm) / (12 * h);
d2 = (-f_x2hp + 16 * f_xhp - 30 * f_x + 16 * f_xhm - f_x2hm) / (12 * h * h);
if (k == 0)
<
d1_1 = d1;
d2_1 = d2;
>
if (k == 1)
<
d1_2 = d1;
d2_2 = d2;
>
h /= 2.0;
>
d1_new = (16 * d1_2 - d1_1) / 15;
d2_new = (16 * d2_2 - d2_1) / 15;
cout cout >