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移动平均线(MACD)

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移动平均线(MACD)

理解了 MA、EMA 的含义后,就可以理解其用途了,简单的说,当要比较数值与均价的关系时,用 MA 就可以了,而要比较均价的趋势快慢时,用 EMA 更稳定;有时,在均价值不重要时,也用 EMA 来平滑和美观曲线。

EMA 指数移动平均

EMA 含义

EMA即指数平均数指标( Exponential Moving Average, EXPMA或EMA),也是一种趋向类指标。其构造原理是:对收盘价进行加权算术平均,用于判断价格未来走势的变动趋势。与MACD指标、DMA指标相比,EMA指标由于其计算公式中着重考虑了当天价格(当期)行情的权重,决定了其作为一类趋势分析指标,在使用中克服了MACD指标对于价格走势的滞后性缺陷,同时,也在一定程度上消除了DMA指标在某些时候对于价格走势所产生的信号提前性,是一个非常有效的分析指标。

EMA 定义式

由于x1 之前没有数据,我们补充定义 x0 = x-1 = x-2 = 。。。 = x1。 这样自然给出 EMANx1) = x1。从定义式可以看出 EMA 加权平均的特性。在 EMA 指标中,每天价格的权重系数以指数等比形式缩小。时间越靠近当今时刻,它的权重越大。说明 EMA 函数对近期的价格加强了权重比,更能及时反映近期价格波动情况。所以 EMA 比 MA 更具参考价值。

EMA 递推式

EMA 移动平均线(MACD) 二重 EMA 公式

从上式可以看出二重 EMA 满足交换律,即 EMAM[EMANxn)] = EMAN[EMAMxn)]。 如果周期 M = N 相同,则分子分母同时为 0 变为不定式,可以用洛必达法则求极限。当 MN 时,公式的证明过程略去。主要用到定义式,将左边写成一个二重级数,换元后用等比级数求和,再对剩下结果进行整理即可得到。也可以根据递推式,用数学归纳法证明。

EMA 在 MACD 中的应用

注意到三个系数之和为零,故 MACD 可以看作是比较不同周期的 EMA 得出的股票涨跌趋势,也可以理解为股价的 “速度”。当 MACD 由负增到零称作 “金叉”,表示股价越过了最小值,即将迎来涨势;当 MACD 由正减到零称作 “死叉”,表示股价越过了最大值,即将迎来跌势。

MA移动平均线

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移动平均(Moving Average)

\begin v_ =& 0.1\times \theta_ + 0.9\times v_ \\ v_ =& 0.1\times\theta_ + 0.9(0.1\theta_+0.9v_)\\ =& 0.1\times \theta_ + 0.1\times0.9\times \theta_+0.9^2 \times v_\\ v_ =& 0.1\times\theta_ + 0.1\times0.9\times \theta_+0.9^2(0.1\theta_+0.9v_) \\ =& 0.1\times \theta_ + 0.1\times0.9\times \theta_+0.1\times0.9^2\times \theta_ + 0.1\times 0.9^3\times v_\\ . \\ v_ =& 0.1\times \theta_+0.1\times0.9\times \theta_+0.1\times0.9^2\times \theta_+. +0.9^(0.1\theta_ + 0.9v_) \\ =& 0.1\times \theta_+0.1\times0.9\times \theta_+0.1\times0.9^2\times \theta_+. +0.1\times0.9^\times\theta_2 + 0.9^\times v_1\\ v_ =& 0.1\times \theta_+0.1\times0.9\times \theta_+0.1\times0.9^2\times \theta_+. +0.1\times0.9^\times\theta_2 + 0.1 \times 0.9^ \times \theta_ \end \tag

由 (3-5) 最后一行的推导结果可以得出, v_ 指数移动平均值,本质上前100项数值的加权平均。这时我们考虑,到底需要平均多少项的数值。实际上,在计算当前项的指数移动平均值时,我们会加权平均,包含当前项的之前所有项的值。

但是,通过公式可以看出项的权重随着指数系数的增加而减小,并趋近于零,如当权重系数大小为 0.99^ \approx 0 ,这一项可以忽略。这意味指数移动平均值近似于当前项之后一定数量有效项的加权平均的结果(我们假设存在一个阈值,当项的权重系数大于阈值时为有效项;当权重系数衰减到低于阈值则为无效项)。

权重因子的作用本质上是控制指数权重平均计算中有效项的数目,即指数平滑有效窗口的大小

这里的权重衰减阈值设为自然数的倒数为 \frac \approx 0.368 ,进一步说,当权重系数小于 \frac 时忽略当前项及之后项的加权值。

中 移动平均线(MACD) T 对应的数值,表示平滑窗口/周期的大小。

权重因子 \beta 可以表示为

\beta = 1-\epsilon \tag

将公式 (3-8) 带入式 (3-6) 可以得到

结合公式 (3-7) 易得到,有效滑动窗口大小 T

此时对应的有效窗口大小 T 为10

此时对应的有效窗口大小 T 为50

\begin[b] <|c|c|>\hline 日期 &2020/06/04 & 2020/06/05& 2020/06/06&2020/06/07 & 2020/06/08& 2020/06/09&2020/06/10 & 0/06/11&2020/0612&2020/06/13&2020/06/14 \\ \hline 温度 & 35&34&37&36&35&38&37&37&39&38&37 \\ \hline \end

\begin v_0=&0 \\ v_1 =& 0.9\times0 + 移动平均线(MACD) 0.1\times35= 3.5 \\ v_2 =& 0.9\times35 + 0.1\times34 = 6.55 \\ v_3 =& 0.9\times6.55 + 0.1\times37 = 9.595 \\ v_4 =& 0.9\times9.595 + 0.1\times36 = 12.2355 \\ 移动平均线(MACD) v_5 =& 0.9\times12.移动平均线(MACD) 2355 + 0.1\times35 =14.512\\ v_6 =& 0.9\times14.512 + 0.1\times38 =16.8608\\ v_7 =& 0.9\times16.8608 + 0.1\times37 =18.87472\\ v_8 =& 0.9\times18.87472 + 0.1\times37 =20.687248\\ v_9 =& 0.9\times20.687248 + 0.1\times39 =22.5185\\ v_ =& 0.9\times22.5185 + 0.1\times38 =24.067\\ v_ =& 0.9\times24.067 + 移动平均线(MACD) 0.1\times37 =25.360\\ \end

可以看出,随着样本的增大,移动平均值会逐渐接近当前值(这里由于移动平均操作的步数较少,因此还有较大偏差)。容易得到上述公式有一个问题,就是在开始阶段的滑动平均值偏小,与真实值之间具有较大偏差,因此这里引入偏差修正公式(Bias correction in exponentially weighted averages ) , 移动平均线(MACD) 修正 v_t 后的计算公式如下

可以发现发现随着 t 增加, \beta^t 逐渐接近于 0。当 t 很大的时候,偏差修正项就几乎没有作用了。

指数移动平均和修正指数移动平均对比

通过random函数生成样本容量大小为100的数据,模拟一段时间连续时间内的温度变化。分别公 (3-3) 和公式 (3-12) 计算指数移动平均结果和修正后结果

  • 不经过修正的指数移动平均,在初始阶段的结果与真实的曲线有很大偏差;而经过修正后的指数移动平均的结果,从开始就可以很好的跟踪真实变化趋势;
  • 虽然不经过修正的指数移动平均和经过修正指数移动平均在初始的阶段会有很大差异,但是随着步数的增加,两条曲线逐渐重合。因此指数移动平均的修正并不是必须的步骤。事实上,在机器学习中,在计算指数加权平均数的大部分时候,大家不在乎执行偏差修正,因为大部分人宁愿熬过初始时期,拿到具有偏差的估测,然后继续计算下去。

不同权重因子指数移动平均效果对比

通过random函数生成样本容量大小为100的数据,模拟一段时间连续时间内的温度变化。采用修正指数平均移动方法,对比权重因子 \beta 分别为0.5,0.9和0.98情况下的结果。

MA移动平均线

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